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無窮等比數列求和公式

更新:2023-09-14 02:20:46 高考升學網

數列,a,aq,aq^2……aq^n。我們把|q|<1無窮等比數列稱為無窮遞縮等比數列,它的前n項和的極限才存在。S是表示無窮等比數列的所有項的和,這種無限個項的和與有限個項的和從意義上來說是不一樣的,S是前n項和Sn當n→∞的極限,即S=a/(1-q)。

公式推導過程

設一個等比數列的首項是a1,公比是q,數列前n項和是Sn,當公比不為1時

Sn=a1+a1q+a1q^2+...+a1q^(n-1)

將這個式子兩邊同時乘以公比q,得

qSn=a1q+a1q^2+...+a1q^(n-1)+a1q^n

兩式相減,得

(1-q)Sn=a1-a1q^n

所以,當公比不為1時,等比數列的求和公式為Sn=[a1(1-q^n)]/(1-q)

對于一個無窮遞降數列,數列的公比小于1,當上式得n趨向于正無窮大時,分子括號中的值趨于1,取極限即得無窮遞減數列求和公式

S=a1/(1-q)

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